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By Ma J. M., Qiu R. F.

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A ∼ mit Anfangszustand z und mit einer von z unabh¨angigen Ubergangswahrscheinlichkeit Q ist. z Dann heißt (X ∼ )z∈E ein station¨ares Markovsystem. Die Aktienpreisprozesse mit Anfangskurs a > 0 liefern ein Beispiel f¨ ur ein solches Markovsystem. Bei einem station¨aren Markovsystem gilt f¨ ur meßbares, geeignet integrierbares g : E k → IR z z E(g(Xn+1 , . . , Xn+k ) | An ) = Eg(X1x , . . , Xkx ) mit x = Xnz . 11 Markovsche Stopsituation z ur i ∈ IN0 seien hi : Betrachtet werde ein station¨ares Markovsystem (X )z∈E .

Amerikanische Claims und optimales Stoppen (iv) Setzen wir B = {x ∈ E : h(x) ≥ w(x)}, so ist σ z = inf{k ≥ 0 : Xkz ∈ B} ullt ist. 1 Sie drehen ein Gl¨ ucksrad mit Feldern von 1 bis 50. Nach Anhalten des Rades k¨onnen Sie zwischen Auszahlung des angezeigten Betrages und nochmaligem Drehen des Gl¨ ucksrades w¨ahlen. Die Anzahl der Versuche ist auf n begrenzt. Formulieren Sie dieses als optimales Stopproblem und geben Sie eine optimale Strategie an. ,n mit A0 = 1. ,n den Aktienpreisprozeß mit Anfangskurs a.

Es handelt sich also um den Claim ur i = k. Wir nehmen an, daß diese Claims absicherbar sind. Ck = 1, Ci = 0 f¨ Unter Benutzung des ¨aquivalenten Martingalmaßes Q erhalten wir den fairen Preis durch s(k) = EQ (Bk | A0 ). Koupontragende Anleihen liefern dem Inhaber die festen Zahlungen ck1 , . . ckm zu Zeitpunkten k1 , . . , km . Haben wir allgemein einen Claim C ∼ der Form Ci = ci f¨ ur i = 1, . . , n, vorliegen, so ergibt sich sein fairer Preis als n s(C ) = ∼ ci s(i). i=1 Um diese Feststellungen zu einer tats¨achlichen Preisfestsetzung von festverzinslichen Wertpapieren benutzen zu k¨onnen, sind geeignete Modellierungen f¨ ur die hier als stochastisch anzunehmenden Zinsgr¨oßen zu finden.

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